四小时速通线性代数（二）-11s' NoteBook

分块矩阵

In mathematics, a block matrix or a partitioned matrix is a matrix that is interpreted as having been broken into sections called blocks or submatrices.

分块矩阵的核心思想是把矩阵当作元素来进行运算。

矩阵分块本质上就是用几条横线和纵线把大矩阵切成若干个小矩阵，给矩阵分块必须保证横线必须贯穿全行，纵线必须贯穿全列。

分块矩阵的加减和数乘

分块矩阵的加减法和数乘与普通矩阵完全一致，其中，两个矩阵必须是同型矩阵，并且它们的分块方式必须完全一致（即对应位置的子矩阵行数、列数都相等）。

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}

A \pm B = \begin{pmatrix} A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} \\ A_{21} \pm B_{21} & A_{22} \pm B_{22} \end{pmatrix}

kA = \begin{pmatrix} kA_{11} & kA_{12} \\ kA_{21} & kA_{22} \end{pmatrix}

分块矩阵的乘法

分块矩阵乘法的规则与普通矩阵乘法完全一样，前提是前矩阵列的分块方式 = 后矩阵行的分块方式。

在分块矩阵中，相乘的元素都是矩阵，而矩阵乘法不满足交换律。因此，在书写行乘列的结果时，必须严格保持前矩阵的块在左边，后矩阵的块在右边。

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}

AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}

分块矩阵的运算性质

当分块矩阵中出现大量零矩阵时，计算会发生质的简化，例如以下几种。

分块对角矩阵

主对角线上是子矩阵，其余位置全为零矩阵。

分块对角矩阵相乘，直接等于对应对角块相乘；求 n 次幂，等于把每个对角块求 n 次幂。以下展示了分块对角矩阵的运算过程。

A = \begin{pmatrix} A_1 & O \\ O & A_2 \end{pmatrix}

A^n = \begin{pmatrix} A_1^n & O \\ O & A_2^n \end{pmatrix}

分块三角矩阵

即将上三角矩阵和下三角矩阵中的元素替换为子矩阵。

分块三角矩阵相乘后，结果依然是同类型的分块三角矩阵，且主对角块的值依然是对应主对角块的乘积。

B = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix} \quad (\text{上三角})

分块矩阵的运算技巧

在解大型线性方程组或求逆矩阵时，利用分块矩阵可以将大矩阵转换为小矩阵进行运算。例如我们要对一个分块对角矩阵求逆，如果两个矩阵分别可逆，那么整个大矩阵的逆就是把对角块分别求逆：

A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & O \\ O & A_2^{-1} \end{pmatrix}

逆矩阵

线性代数中，给定一个 n 阶方阵 A，如果存在另一个 n 阶方阵 B，使得它们的乘积等于单位矩阵 E（即 AB = BA = E），那么我们称 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆矩阵。

AA^{-1} = A^{-1}A = E

并不是所有的矩阵都有逆矩阵。一个矩阵可逆必须满足以下条件：

必须是方阵
行列式不能为 0
必须是满秩矩阵，即矩阵的秩 r(A) = n

逆矩阵的运算

二阶矩阵求逆公式

二阶矩阵求逆直接将主对角线交换位置，副对角线变号，最后除以行列式。

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

伴随矩阵法

对于二阶以上的矩阵，可以使用伴随矩阵的方法求解：

A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*

伴随矩阵极其容易算错符号，且面对 3 阶以上矩阵时计算量巨大。一般只在含有未知数（字母）的矩阵求逆，或者证明题中使用。

初等行变化法（通法）

将矩阵 A 和单位矩阵 E 拼在一起，变成一个大矩阵 (A | E)，对这个大矩阵进行初等行变换。当左边的 A 变为 E 的时候，右边的 E 就变成了 A 的逆矩阵，具体的过程如下：

\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)

注意这个是初等行变换法全程只能用行变换，不能用列变换。

逆矩阵的运算性质

矩阵的逆的逆是原矩阵： $(A^{-1})^{-1} = A$
数乘的逆： $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ （注意 $k \neq 0$ ）
穿脱原则： $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
转置与逆可交换： $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ （与矩阵的转置相类似）